PT Đường Thẳng Vuông Góc: Hướng Dẫn Toàn Diện Và Các Bài Tập Thực Hành

Phương trình đường thẳng vuông góc là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng và không gian. Để xác định phương trình của đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho, ta cần áp dụng các kiến thức về vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.

Khái Niệm Cơ Bản

Đường thẳng vuông góc với đường thẳng khác là đường thẳng có hệ số góc là nghịch đảo và đổi dấu của hệ số góc đường thẳng ban đầu. Nếu đường thẳng (d) có phương trình (y = mx + c), một đường thẳng vuông góc với (d) sẽ có hệ số góc là (-frac{1}{m}).

Ví dụ Minh Họa

• Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d_1: y = 2x + 3). Đường thẳng vuông góc với (d_1) tại điểm bất kỳ có dạng (y = -frac{1}{2}x + c), với (c) là hằng số tùy thuộc vào điểm qua đường thẳng mới.
• Ví dụ 2: Đường thẳng (d: y = -frac{1}{4}x + 1) cắt trục hoành tại điểm (A(4, 0)). Một đường thẳng vuông góc với (d) sẽ có phương trình (y = 4x + b).

Bài Tập Vận Dụng

1. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (A(-2, 3)) và vuông góc với đường thẳng (d: y = 2x + 1).
2. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng (d: y = 3x - 5) và đi qua điểm giao của (d) với trục hoành.

Hướng Dẫn Giải

Giải bài tập 1: Đường thẳng qua (A) và vuông góc với (d) có hệ số góc là (-frac{1}{2}) (nghịch đảo của 2). Áp dụng công thức dạng tổng quát (y = mx + c), ta có (y = -frac{1}{2}x + c). Thay tọa độ điểm (A) vào phương trình để tìm (c), ta được (c = 2), vậy phương trình cần tìm là (y = -frac{1}{2}x + 2).

Giải bài tập 2: Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm (A(1.67, 0)). Đường thẳng vuông góc với (d) tại (A) có hệ số góc là (-frac{1}{3}). Phương trình đường thẳng vuông góc là (y = -frac{1}{3}x + b). Thay tọa độ điểm (A) vào để tìm (b), ta được (b = 0.56), phương trình cần tìm là (y = -frac{1}{3}x + 0.56).